Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, et sa représentation graphique est toujours une droite. Deux nombres seulement la déterminent entièrement : a, le coefficient directeur, et b, l'ordonnée à l'origine. Ce jeu vous fait régler ces deux nombres et voir la droite bouger, parce que c'est en la faisant bouger qu'on comprend ce que chacun commande.
Le coefficient directeur mesure la pente. Sa lecture est très concrète : quand on avance de 1 vers la droite, la droite monte de a. Si a vaut 2, on monte de 2 à chaque pas. Si a vaut -1, on descend de 1. Si a vaut 0, la droite est horizontale. Plus a est grand en valeur absolue, plus la droite est raide ; son signe donne le sens, montante ou descendante.
L'ordonnée à l'origine indique où la droite coupe l'axe vertical, c'est-à-dire la valeur de la fonction quand x vaut 0. Changer b ne modifie pas l'inclinaison : la droite se translate vers le haut ou vers le bas en restant parallèle à elle-même. C'est ce que le jeu montre au deuxième niveau, où a est bloqué et où seul b se règle.
Linéaire ou affine, la seule différence. Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax : son ordonnée à l'origine est nulle, donc sa droite passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b avec b non nul, et sa droite coupe l'axe vertical ailleurs qu'en zéro. Toute fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, celle dont b vaut 0. Dans le jeu, le premier niveau bloque b à zéro : toutes les droites y passent par l'origine, et la différence saute aux yeux dès que b se débloque au niveau suivant.
Ce n'est pas un hasard si les fonctions linéaires ressemblent à ce qu'on a vu bien plus tôt : une fonction linéaire traduit exactement une situation de proportionnalité, et son coefficient directeur est le coefficient de proportionnalité. Doubler x double f(x), ce qui est faux dès que b n'est pas nul. C'est pour cette raison qu'une droite qui ne passe pas par l'origine ne représente jamais une situation proportionnelle, même si elle est parfaitement droite.
À partir d'une droite tracée, on retrouve les deux nombres sans calcul. On lit d'abord b à l'endroit où la droite coupe l'axe vertical. On lit ensuite a en partant de ce point et en avançant d'une unité vers la droite : la hauteur gagnée est le coefficient directeur. C'est exactement le triangle que l'ampoule fait apparaître dans le jeu, et c'est la technique attendue au brevet.
Chaque niveau demande une tâche différente, dans l'ordre des manuels. Le premier fait tracer : on règle a et b pour que la droite passe par un point, et le triangle de pente montre en direct ce que commande chaque réglage. Le deuxième fait lire une image sur une droite déjà tracée. Le troisième renverse la lecture et demande un antécédent : on connaît la hauteur, on cherche le nombre de départ - c'est là que se loge l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le quatrième donne un tableau de valeurs : la colonne x = 0 livre b, l'écart d'une colonne à l'autre livre a. Le cinquième donne deux points et demande la fonction : la droite n'est pas tracée, il faut compter les carreaux et diviser, puis elle apparaît pour vérifier le calcul. Pour la notion générale de fonction, image et antécédent, le jeu Notion de fonction est complémentaire, et La proportionnalité éclaire le cas linéaire.
Regarde d'abord où la droite doit couper l'axe vertical : cela te donne b immédiatement. Une fois la hauteur bonne, il ne reste plus qu'à ajuster l'inclinaison. Faire l'inverse oblige à tout recommencer, parce que changer b décale la droite entière.
Le coefficient directeur se lit comme un escalier : un pas vers la droite, puis la hauteur gagnée. Si la droite monte de 3 quand tu avances de 1, alors a vaut 3. Si elle descend de 2, a vaut -2. L'ampoule dessine ce triangle sur ta droite.
Regarde d'abord si la droite monte ou descend. Elle monte, a est positif. Elle descend, a est négatif. Tu élimines la moitié des possibilités sans compter quoi que ce soit.
Quand deux points sont imposés, tu peux trouver a sans tâtonner : divise l'écart des hauteurs par l'écart horizontal. De (1 ; 2) à (3 ; 8), on monte de 6 en avançant de 2, donc a vaut 3.
Si le tableau contient la valeur en 0, elle te donne b directement. Ensuite, passe d'une colonne à la suivante : l'augmentation de f(x) quand x augmente de 1 est le coefficient directeur.
Une fois tes deux réglages faits, vérifie avec une valeur que tu n'as pas utilisée. Si la droite passe aussi par celle-là, c'est gagné : deux points suffisent à déterminer une droite, donc tout le reste suit.
Les fonctions linéaires et affines sont souvent abordées par la formule et le tableau de valeurs, puis par le tracé. L'élève apprend alors à produire une droite, sans nécessairement comprendre ce que chacun des deux coefficients commande. L'activité de référence sur cette notion, largement utilisée en classe, consiste au contraire à faire varier a et b avec des curseurs et à observer. Ce jeu reprend ce principe : les deux nombres se règlent, la droite répond immédiatement, et le rôle de chacun se construit par l'observation.
Le dernier niveau ne trace pas la droite tant que la réponse n'est pas donnée. Ce n'est pas une coquetterie : tant qu'une droite bouge en direct sous les doigts de l'élève, il atteint la cible par tâtonnement sans jamais calculer. En retirant ce retour immédiat tout en gardant les deux points sur la grille, on l'oblige à compter les carreaux et à poser la division - c'est-à-dire à faire l'exercice.
C'est la difficulté annoncée de ce chapitre, et elle se règle visuellement plutôt que verbalement. Une fonction linéaire est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle, donc dont la droite passe par l'origine. Au premier niveau du jeu, b est bloqué à zéro et toutes les droites passent par l'origine ; dès que b se débloque, le contraste est immédiat. C'est bien plus efficace qu'une définition apprise par cœur.
Il vaut la peine d'être explicité à la maison : une fonction linéaire est la traduction d'une situation de proportionnalité, et son coefficient directeur est le coefficient de proportionnalité vu au collège. Un prix qui dépend d'une quantité sans frais fixes est linéaire ; ajoutez des frais de livraison, il devient affine. Cet exemple concret aide beaucoup.
La lecture graphique des coefficients est une question classique. Les quatrième et cinquième niveaux du jeu y préparent directement, l'un par superposition d'une droite donnée, l'autre à partir d'un tableau de valeurs sans support graphique. Pour la notion de fonction au sens large, image et antécédent, voir Notion de fonction.