Les critères de divisibilité en mathématiques
Les critères de divisibilité sont des règles simples qui permettent de savoir, sans faire la division, si un nombre est divisible par un autre. C'est une compétence essentielle au collège : elle sert pour la simplification de fractions, la décomposition en facteurs premiers, la recherche du PGCD/PPCM, et plus tard l'arithmétique du brevet.
Critère par 2
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair : 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 34 → unité = 4 (pair) → divisible par 2 ✓
- 57 → unité = 7 (impair) → NON divisible par 2 ✗
- 1290 → unité = 0 (pair) → divisible par 2 ✓
Critère par 5 et par 10
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
- 175 → unité = 5 → divisible par 5 ✓, pas par 10
- 200 → unité = 0 → divisible par 5 ET par 10 ✓
Critère par 3 et par 9
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Astuce : si un nombre est divisible par 9, il est aussi divisible par 3 (car 9 = 3 × 3).
- 132 → 1+3+2 = 6 → 6 ÷ 3 = 2 ✓ → 132 divisible par 3
- 234 → 2+3+4 = 9 → divisible par 9 (et donc par 3) ✓
- 458 → 4+5+8 = 17 → 17 n'est pas divisible par 3 → 458 non divisible par 3
Critère par 4
Un nombre est divisible par 4 si ses 2 derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
- 128 → 28 ÷ 4 = 7 ✓ → 128 divisible par 4
- 316 → 16 ÷ 4 = 4 ✓ → 316 divisible par 4
- 550 → 50 ÷ 4 = 12,5 ✗ → 550 NON divisible par 4
Combinaisons
Critère par 6 = divisible par 2 ET par 3 (car 6 = 2 × 3).
Critère par 25 = les 2 derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75.
Les 5 niveaux du jeu
- Niveau 1 (6e) : divisibilité par 2 (chiffre des unités pair).
- Niveau 2 (6e) : divisibilité par 5 et par 10.
- Niveau 3 (6e-5e) : divisibilité par 3 et par 9 (somme des chiffres).
- Niveau 4 (5e) : divisibilité par 4 (les 2 derniers chiffres).
- Niveau 5 (5e) : mélange de tous les critères (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10).
Astuces pour les critères de divisibilité
Mémoriser dans le bon ordre
Apprends les critères du plus simple au plus complexe :
- Par 2 : chiffre des unités pair
- Par 5 : finit par 0 ou 5
- Par 10 : finit par 0
- Par 3 : somme des chiffres divisible par 3
- Par 9 : somme des chiffres divisible par 9
- Par 4 : 2 derniers chiffres divisibles par 4
- Par 6 : divisible par 2 ET par 3
Le truc de la somme des chiffres
Pour les grands nombres, on peut refaire la somme plusieurs fois jusqu'à obtenir un petit nombre :
- 4 287 → 4+2+8+7 = 21 → 2+1 = 3 → divisible par 3 ✓
- 8 712 → 8+7+1+2 = 18 → 1+8 = 9 → divisible par 9 ✓
Repérer rapidement plusieurs critères
Un nombre peut être divisible par plusieurs nombres en même temps :
- 120 → divisible par 2 (finit par 0), par 3 (1+2+0=3), par 4 (20÷4=5), par 5 (finit par 0), par 6 (par 2 et par 3), par 10 (finit par 0). Beaucoup de diviseurs !
- 120 n'est PAS divisible par 9 (1+2+0=3, pas par 9) ni par 7 (pas de critère simple).
Le critère par 7 n'existe pas vraiment
Il existe une astuce, mais elle est compliquée. Au collège, pour 7 (et 11, 13...), on fait la division directe — il n'y a pas de critère "facile" à connaître par cœur.
Erreurs fréquentes
- Confondre 2 et 5 : "finit par 5" → divisible par 5, PAS par 2 (5 est impair).
- Oublier que 0 est pair : 30 finit par 0 → divisible par 2 ET par 5.
- Croire que 9 implique 3 mais pas l'inverse : un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, mais un nombre divisible par 3 n'est pas forcément divisible par 9. Exemple : 12 ÷ 3 = 4 ✓, mais 12 ÷ 9 = 1,33 ✗.
- Appliquer le critère par 3 au critère par 4 : NON, par 4 c'est les deux derniers chiffres, pas la somme.
Pour les parents - Critères de divisibilité
Quel intérêt pédagogique ?
Les critères de divisibilité sont un outil de calcul mental essentiel. Ils permettent de simplifier rapidement des fractions, de repérer des multiples, de décomposer en facteurs premiers. Une bonne maîtrise au collège fait gagner un temps considérable au lycée et au brevet (épreuve d'arithmétique en 3e).
Liens avec les programmes
Le programme officiel de 6e introduit explicitement les critères par 2, 5, 10. En 5e, l'enseignement s'étend aux critères par 3, 9 et 4, et les élèves utilisent ces critères pour simplifier des fractions et trouver les diviseurs communs. En 4e, ils servent à la décomposition en produits de facteurs premiers. En 3e, le PGCD et le PPCM s'appuient massivement sur les critères de divisibilité (épreuve du brevet).
Détail des niveaux
- Niveau 1 - Par 2 (6e) : nombres à 2 chiffres entre 12 et 99. L'élève doit reconnaître les nombres pairs (finissant par 0, 2, 4, 6, 8).
- Niveau 2 - Par 5 ou 10 (6e) : nombres à 2-3 chiffres. Le diviseur alterne entre 5 et 10.
- Niveau 3 - Par 3 ou 9 (6e-5e) : nombres à 3 chiffres. Le critère de la somme des chiffres est introduit.
- Niveau 4 - Par 4 (5e) : nombres à 3 chiffres. Le critère des "2 derniers chiffres" est plus subtil.
- Niveau 5 - Mix (5e) : tous les diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10) mélangés. Niveau de synthèse.
Comment accompagner votre enfant
Affichez le tableau des critères sur le frigo. Quand vous lisez un numéro de téléphone, un prix, un numéro de bus, demandez "est-il divisible par 2 ? par 5 ?". Pour les nombres à 3 chiffres, faites calculer la somme des chiffres et vérifier la divisibilité par 3. C'est un exercice rapide qui s'intègre dans la vie quotidienne. À long terme, l'enfant développe un "réflexe" qui lui sert toute sa scolarité mathématique.