Factoriser - trouver le facteur commun
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit. C'est l'opération inverse de développer. La factorisation est un outil central de la 3e, indispensable pour résoudre des équations produits, simplifier des fractions et réussir le brevet.
Vocabulaire à connaître
- Factoriser : transformer une somme en produit.
- Facteur commun : facteur présent dans tous les termes.
- Identité remarquable : formule de factorisation classique.
Méthode 1 - facteur commun
ka + kb = k(a + b)
On met le facteur commun devant les parenthèses, et on écrit ce qui reste à l'intérieur.
Exemple : 6x + 9 = 3(2x + 3). Le facteur commun 3 est extrait.
Exemple plus complexe : 5x² + 10x = 5x(x + 2). Le facteur commun 5x est extrait.
Méthode 2 - identités remarquables
3 identités remarquables à connaître par cœur :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b² (différence de deux carrés)
En sens factorisation :
- x² + 6x + 9 = (x + 3)²
- x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
- x² − 10x + 25 = (x − 5)²
Astuce :
reconnaître x² − a² = (x − a)(x + a). C'est la « différence de deux carrés », l'identité remarquable la plus utile et la plus simple à appliquer.
Méthode 3 - facteur commun complexe
Le facteur commun peut être une expression entre parenthèses :
Exemple : (x + 1)(x − 2) + 3(x + 1) = (x + 1)[(x − 2) + 3] = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)².
Le facteur commun (x + 1) est mis en évidence.
Application - équation produit
Une équation produit se résout en utilisant : a × b = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0.
Exemple : x² − 9 = 0 → (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 ou x = −3.
Niveaux du jeu
- Niveau 1 : facteur commun simple (entier).
- Niveau 2 : facteur commun avec lettre.
- Niveau 3 : différence de deux carrés.
- Niveau 4 : carrés parfaits.
- Niveau 5 : factorisation complexe.
Astuces pour bien factoriser
Stratégie générale
- Chercher d'abord un facteur commun (méthode 1).
- Si pas de facteur commun, vérifier les identités remarquables.
- Si l'expression contient (x − a) ou (x + a) en plusieurs endroits, utiliser le facteur commun complexe.
Reconnaître les identités
- 3 termes avec coefficient 2 du milieu : carré parfait.
- 2 termes, soustraction de deux carrés : différence de carrés.
Erreurs fréquentes
- Oublier le facteur commun à un seul terme : ka + k = k(a+1), pas k(a).
- Confondre développement et factorisation.
- Mal appliquer une identité : x² + 9 ≠ (x+3)². C'est x² + 6x + 9 qui vaut (x+3)².
Dans Factoriser une expression : on te donne une expression, tu tapes sa forme factorisée. Niveaux progressifs.
Activités maison
- Décomposer mentalement : 18 = 2 × 9 = 2 × 3².
- Vérifier en développant : la factorisation est correcte si en développant on retrouve l'expression de départ.
Informations pour les parents et enseignants
Factoriser une expression est un jeu éducatif entièrement gratuit pour les élèves de 3e.
Conformité au programme scolaire
- 3e : factorisation par facteur commun et identités remarquables.
- 2nde : approfondissement, factorisations complexes.
5 niveaux progressifs
Tous gratuits.
Pourquoi cette compétence est-elle clé ?
La factorisation est l'une des compétences les plus testées au brevet. Elle conditionne la résolution des équations produits, la simplification des fractions, et toute la suite de l'algèbre.
Comment accompagner votre enfant
- Mémoriser les 3 identités remarquables par cœur.
- Vérifier en développant systématiquement.
FAQ
Mon enfant ne reconnaît pas les identités remarquables. Faire des tableaux d'identités, les écrire 10 fois jusqu'à mémorisation parfaite.
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