Décomposer un nombre en facteurs premiers - 3e
Tout nombre entier positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers. C'est le théorème fondamental de l'arithmétique, vu en 3e. Cette décomposition est utilisée pour simplifier des fractions, calculer des PGCD et PPCM, et résoudre des problèmes d'arithmétique.
Vocabulaire à connaître
- Nombre premier : nombre divisible seulement par 1 et lui-même. Ex : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- Nombre composé : nombre qui n'est pas premier (a au moins un autre diviseur).
- Décomposition en facteurs premiers : écriture du nombre comme produit de nombres premiers.
Méthode pour décomposer
- Diviser par le plus petit nombre premier possible (2, puis 3, puis 5, 7, 11…).
- Continuer avec le quotient.
- S'arrêter quand on obtient 1.
- Le produit des diviseurs utilisés = la décomposition.
Exemple - décomposer 60
- 60 ÷ 2 = 30
- 30 ÷ 2 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
Décomposition : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
Les nombres premiers à connaître
- Premiers ≤ 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- Premiers ≤ 100 : 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Astuce : pour savoir si un nombre n est premier, tester sa divisibilité par tous les premiers ≤ √n. Pour 97, √97 ≈ 9,8, donc tester 2, 3, 5, 7. Aucun ne divise 97 → 97 est premier.
Application - simplifier une fraction
Pour simplifier 60/126, décomposer chaque nombre :
- 60 = 2² × 3 × 5
- 126 = 2 × 3² × 7
- Facteurs communs : 2 × 3 = 6
- 60/126 = (60÷6) / (126÷6) = 10/21
Application - calculer un PGCD
PGCD = produit des facteurs communs avec leur plus petit exposant.
Exemple : PGCD(60, 126) = 2 × 3 = 6.
Niveaux du jeu
- Niveau 1 : décomposer ≤ 50.
- Niveau 2 : ≤ 100.
- Niveau 3 : ≤ 200.
- Niveau 4 : appliquer aux fractions.
- Niveau 5 : calculer le PGCD.
Astuces pour décomposer rapidement
Connaître les premiers nombres premiers
Avoir en tête : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Souvent suffisant pour les nombres du brevet.
- Par 2 : nombre pair.
- Par 3 : somme des chiffres divisible par 3.
- Par 5 : finit par 0 ou 5.
- Par 9 : somme des chiffres divisible par 9.
- Par 11 : différence alternée des chiffres divisible par 11.
Erreurs fréquentes
- Inclure 1 dans la décomposition : 1 n'est pas un nombre premier.
- Diviser par un nombre non premier (ex : 4) : c'est juste mais ralentit. Préférer 2 × 2.
- Oublier les exposants : 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
Dans Décomposer en facteurs premiers : on te donne un nombre, tu tapes sa décomposition. Niveaux progressifs.
Activités maison
Informations pour les parents et enseignants
Décomposition en facteurs premiers est un jeu éducatif entièrement gratuit pour les élèves de 3e.
Conformité au programme scolaire
- 3e : décomposition en facteurs premiers, application aux fractions et au PGCD.
5 niveaux progressifs
Tous gratuits.
Pourquoi cette compétence est-elle clé pour le brevet ?
La décomposition en facteurs premiers est l'outil arithmétique central de la 3e. Elle apparaît dans presque tous les exercices d'arithmétique du brevet et conditionne la simplification des fractions.
Comment accompagner votre enfant
- Mémoriser les premiers nombres premiers.
- Pratiquer les critères de divisibilité.
FAQ
Pourquoi 1 n'est pas premier ? Convention. 1 est divisible seulement par lui-même, mais il est exclu pour préserver l'unicité de la décomposition.
📚 Articles et cours en rapport