C'est la phrase à retenir de tout le chapitre, et c'est aussi celle qui surprend le plus. Multiplier ne rend pas toujours plus grand, et diviser ne rend pas toujours plus petit. Dès qu'on multiplie par un nombre inférieur à 1, le résultat diminue. Dès qu'on divise par un nombre inférieur à 1, il augmente. Ce jeu construit cette idée en faisant traverser au nombre des machines qui le transforment.
On entend souvent qu'il faut « déplacer la virgule ». C'est une image commode, mais elle entretient l'idée fausse que le nombre décimal est un assemblage autour d'un signe de ponctuation. Le modèle enseigné aujourd'hui est différent et bien plus solide : ce sont les chiffres qui changent d'unité de numération. Quand on multiplie 4,57 par 10, le 4 qui valait des unités vaut maintenant des dizaines, le 5 passe des dixièmes aux unités, et ainsi de suite. Chaque chiffre avance d'un rang. La virgule, elle, reste sagement entre la partie entière et la partie décimale.
C'est pour cela que le jeu affiche, sur chaque machine, le nombre de rangs qu'elle fait franchir. Multiplier par 100 fait avancer de deux rangs. Diviser par 1000 fait reculer de trois rangs. Une fois ce comptage installé, toutes les machines deviennent lisibles, y compris celles qui font peur.
Une difficulté repérée au niveau national. Les évaluations de début de cinquième comportent un exercice consacré spécifiquement à la multiplication par un dixième, et les résultats montrent que la connaissance des décimaux n'est pas stabilisée pour plus d'un tiers des élèves à la fin du CM2 ou de la sixième. L'objectif affiché est précisément d'amener chacun à se représenter la multiplication par 0,1 comme une division par 10. Ce n'est donc pas un détail d'expert : c'est un point de passage identifié, et travaillé comme tel.
Avec les nombres entiers, multiplier par 10 revient à écrire un zéro de plus, et cette recette fonctionne si bien qu'elle finit par remplacer la compréhension. Elle s'effondre dès qu'un décimal apparaît : 2,5 multiplié par 10 ne donne pas 2,50, qui est le même nombre que 2,5, mais 25. L'élève qui a mémorisé « on ajoute un zéro » se retrouve à écrire un nombre inchangé sans s'en apercevoir. Compter les rangs évite complètement ce piège, parce qu'on regarde ce que devient chaque chiffre au lieu d'appliquer une recette d'écriture.
Le cœur du jeu est là. Pour transformer 4,57 en 45,7, on peut choisir la machine ×10, mais aussi la machine ÷0,1 : les deux font avancer les chiffres d'un rang, donc elles donnent exactement le même résultat. De la même façon, ×0,1 et ÷10 sont interchangeables, tout comme ×0,01 et ÷100. Quand deux machines différentes produisent la même sortie, l'équivalence cesse d'être une règle à croire : elle devient une chose qu'on a constatée soi-même. C'est pour cette raison que le jeu signale, après chaque bonne réponse, la machine qui aurait fait la même chose.
Ces conversions sont partout dès qu'on change d'unité. Passer des mètres aux centimètres, des grammes aux kilogrammes, des euros aux centimes, c'est exactement multiplier ou diviser par une puissance de dix. Un élève à l'aise avec ces machines convertit sans effort et sans tableau. C'est aussi la base du calcul mental sur les grands nombres et, plus tard, de l'écriture scientifique. Pour travailler la même idée sous un autre angle, le jeu Les écritures d'un nombre décimal installe la valeur de chaque rang, et Place la virgule au bon rang travaille le placement de la virgule dans les calculs.
Le premier niveau ne propose que des machines familières, ×10, ×100, ÷10 et ÷100, pour installer le geste et le comptage des rangs. Le deuxième va jusqu'au millier et fait intervenir des nombres décimaux, là où la recette du zéro ajouté échoue. Le troisième introduit les machines décimales, ×0,1, ×0,01, ÷0,1 et ÷0,01, avec les équivalences qui apparaissent naturellement. Le quatrième demande d'enchaîner deux machines, ce qui oblige à additionner les déplacements de rangs. Le cinquième donne une chaîne dont une machine est déjà en place et demande de trouver celle qui manque, ce qui est un raisonnement inverse nettement plus exigeant. Quand ces déplacements de rangs sont acquis, Poser des multiplications décimales les met en pratique dans le calcul posé, là où la virgule du résultat se place en comptant les décimales.
Regarde le nombre de départ et le nombre d'arrivée, puis demande-toi de combien de rangs les chiffres ont bougé. De 4,57 à 45,7, le 4 est passé des unités aux dizaines : un rang vers la gauche. Il te faut donc une machine qui avance d'un rang, c'est-à-dire ×10 ou ÷0,1.
Commence toujours par regarder si le nombre grandit ou rétrécit. S'il grandit, cherche parmi ×10, ×100, ×1000, ÷0,1 et ÷0,01. S'il rétrécit, cherche parmi ÷10, ÷100, ÷1000, ×0,1 et ×0,01. Tu élimines déjà la moitié des machines sans calculer.
C'est le point qui déroute le plus. Multiplier par 0,1 rend le nombre dix fois plus petit, parce que 0,1 c'est un dixième : on en prend un dixième. Diviser par 0,1 fait l'inverse et rend le nombre dix fois plus grand, parce qu'on regarde combien de fois un dixième tient dedans, et il y tient dix fois plus.
×10 et ÷0,1 sont interchangeables. ×0,1 et ÷10 aussi. ×100 et ÷0,01 également. Si tu hésites entre deux machines et qu'elles font le même déplacement de rangs, les deux sont bonnes : le jeu accepte l'une comme l'autre.
Aux derniers niveaux, la chaîne contient deux machines. Additionne simplement leurs déplacements : ×100 avance de deux rangs, ÷10 recule d'un rang, l'ensemble avance donc d'un seul rang. L'ordre n'a aucune importance pour le résultat final.
Au premier niveau, chaque machine affiche le nombre de rangs qu'elle fait franchir. Ensuite, l'ampoule les rallume quand tu bloques. Elle ne te dit jamais quelle machine choisir : elle te rappelle seulement ce que chacune fait.
La formule est répandue et elle donne de bons résultats à court terme, mais elle renforce exactement la conception que l'on cherche à démonter : celle d'un nombre décimal fait de deux parties séparées par une virgule mobile. Les documents d'accompagnement actuels privilégient un autre modèle, celui du changement d'unité de numération. Les chiffres se déplacent d'un rang, la virgule reste à sa place. Ce jeu suit ce modèle et affiche sur chaque machine le nombre de rangs franchis.
La verbalisation est présentée comme le levier central de ce chapitre, et c'est un conseil facile à appliquer à la maison. Demandez à votre enfant de dire ce qu'il fait : « je multiplie par 0,1, donc les chiffres reculent d'un rang, donc c'est comme diviser par 10 ». Formulée à voix haute, la règle devient un raisonnement au lieu d'un réflexe. Le jeu reprend cette formulation dans chacune de ses explications, exprès.
Depuis le CP, un enfant a construit deux certitudes : multiplier agrandit, diviser réduit. Les décimaux les contredisent toutes les deux, et cette contradiction est déstabilisante. Si votre enfant refuse d'admettre que 30 × 0,1 fait 3, ce n'est pas de la mauvaise volonté. Le détour par le sens aide beaucoup : prendre 0,1 d'une quantité, c'est en prendre un dixième, donc forcément moins. Une image concrète, un dixième de gâteau, vaut mieux qu'une règle répétée.
Ces machines sont exactement ce qui se passe lors d'un changement d'unité. Convertir des mètres en centimètres, c'est multiplier par 100 ; passer des grammes aux kilogrammes, c'est diviser par 1000. Un enfant qui maîtrise ce chapitre convertit ensuite sans tableau de conversion, ce qui lui fait gagner un temps considérable au collège.
Les deux premiers niveaux conviennent dès le CM2. Les machines décimales relèvent de la sixième, et l'exercice national qui porte sur ce point se situe en début de cinquième, ce qui donne une idée du moment où la notion doit être solide. Pour préparer le terrain, Les écritures d'un nombre décimal installe la valeur des rangs, et Multiplier et diviser par 10, 100, 1000 entraîne le calcul rapide sur les puissances de dix classiques.